Question

19．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，并且2，a_n，S_n成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{log{{\;}_{2}a}_{n}}{{a}_{n}}$．求數(shù)列{b_n}前n項和為T_n．

Answer 1

分析 （1）由2，a_n，S_n成等差數(shù)列，可得2a_n=2+S_n，再利用遞推式、等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）∵2，a_n，S_n成等差數(shù)列，
∴2a_n=2+S_n，當(dāng)n=1時，2a₁=2+a₁，解得a₁=2．
當(dāng)n≥2時，2a_n-1=2+S_n-1，
∴2a_n-2a_n-1=a_n，∴a_n=2a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項為2，公比為2，∴a_n=2ⁿ．
（2）b_n=$\frac{log{{\;}_{2}a}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{lo{g}_{2}{2}^{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$．
∴數(shù)列{b_n}前n項和為T_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=1-$\frac{2+n}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$．

點評 本題考查了遞推式、等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”、對數(shù)的運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．