Question

5．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{3}{2}$（3ⁿ-1），則數(shù)列{$\frac{1}{（lo{g}_{3}{a}_{n+1}）（lo{g}_{3}{a}_{n+2}）}$}的前10項(xiàng)和為（　�。�

• A． $\frac{5}{6}$
• B． $\frac{11}{12}$
• C． $\frac{10}{11}$
• D． $\frac{5}{12}$

Answer 1

分析 利用遞推關(guān)系可得a_n，再利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{3}{2}$（3ⁿ-1），
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=3；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{3}{2}（{3}^{n}-1）$-$\frac{3}{2}（{3}^{n-1}-1）$，化為：a_n=3ⁿ，
當(dāng)n=1時(shí)，上式成立，
∴a_n=3ⁿ．
則$\frac{1}{（lo{g}_{3}{a}_{n+1}）（lo{g}_{3}{a}_{n+2}）}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$．
∴數(shù)列{$\frac{1}{（lo{g}_{3}{a}_{n+1}）（lo{g}_{3}{a}_{n+2}）}$}的前10項(xiàng)和S₁₀=$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+…+$（\frac{1}{11}-\frac{1}{12}）$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{12}$=$\frac{5}{12}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．