Question

15．某工廠生產(chǎn)出的產(chǎn)品投放到某市12個大型超市，24個中型超市，72個小型超市中銷售，為了了解銷售情況，現(xiàn)采用分層抽樣方法抽取9個超市進(jìn)行凋查．
（1）求抽取的大型超市．中型超市，小型超市的個數(shù)；
（2）若從抽取的9個超市中隨機(jī)抽取3個做進(jìn)一步跟蹤分析，記隨機(jī)變量X為抽取的小型超市的個數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期E（X）；
（3）根據(jù)調(diào)查結(jié)果，經(jīng)過數(shù)據(jù)分析得到下面有關(guān)銷售的統(tǒng)計規(guī)律：每生產(chǎn)該產(chǎn)品x（百件），其總成本為G（x）萬元，其中固定成本為2萬元．且每生產(chǎn)1百件的生產(chǎn)成本為1萬元（總成本=固定成本+生產(chǎn)成本）．已知銷售收入R（x）萬元滿足R（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-0.4{x}^{2}+4.2x-0.8，0≤x≤5}\\{10.2，x＞5}\end{array}\right.$，假定該產(chǎn)品銷售平衡，那么根據(jù)上述統(tǒng)計規(guī)律，
①要使該工廠有盈利，產(chǎn)品數(shù)量x應(yīng)控制在什么范圍；
②該工廠生產(chǎn)多少件該產(chǎn)品盈利最大？此時每件產(chǎn)品的售價定為多少？

Answer 1

分析 （1）易得12：24：72=1：2：6，從而確定答案；
（2）分別求概率P（X=0）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{1}{84}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{2}•{C}_{6}^{1}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{3}{14}$，P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{1}•{C}_{6}^{2}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{15}{28}$，P（X=3）=$\frac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{5}{21}$，從而求分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）；
（3）由題意知G（x）=x+2，x≥0； ①從而由分段函數(shù)討論以求范圍；②①當(dāng)0≤x≤5時，配方法化簡R（x）-G（x）=-0.4（x-4）²+3.6，從而求最值．

解答 解：（1）∵12：24：72=1：2：6，
∴抽取大型超市1個，中型超市2個，小型超市6個；
（2）P（X=0）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{1}{84}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{2}•{C}_{6}^{1}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{3}{14}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{1}•{C}_{6}^{2}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{15}{28}$，P（X=3）=$\frac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{5}{21}$，
故隨機(jī)變量X的分布列為

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{84}$	$\frac{3}{14}$	$\frac{15}{28}$	$\frac{5}{21}$

數(shù)學(xué)期望E（X）=0×$\frac{1}{84}$+1×$\frac{3}{14}$+2×$\frac{15}{28}$+3×$\frac{5}{21}$=2；
（3）由題意知，G（x）=x+2，x≥0；
①當(dāng)0≤x≤5時，
R（x）-G（x）=-0.4x²+4.2x-0.8-（x+2）＞0，
解得，1＜x≤5，
當(dāng)x＞5時，
R（x）-G（x）=10.2-（x+2）＞0，
解得，5＜x＜8.2，
綜上所述，
要使該工廠有盈利，產(chǎn)品數(shù)量x應(yīng)控制在（1，8.2）內(nèi)；
②①當(dāng)0≤x≤5時，
R（x）-G（x）=-0.4x²+4.2x-0.8-（x+2）
=-0.4（x-4）²+3.6，
故x=4時，有最大值3.6；
當(dāng)x＞5時，
R（x）-G（x）=10.2-（x+2）
=-x+8.2＜3.2，
故該工廠生產(chǎn)400件該產(chǎn)品盈利最大，
此時每件產(chǎn)品的售價定為$\frac{3.6+4+2}{400}$=0.024萬元=240元．

點(diǎn)評 本題考查了分布列的求法及數(shù)學(xué)期望的求法，同時考查了分類討論的思想應(yīng)用及分段函數(shù)的應(yīng)用．