Question

17．已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)都是正數(shù)，其前n項(xiàng)和S_n=$\frac{{{a}_{n}}^{2}+{a}_{n}}{2}$（n∈N^*），數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{121}{n+1}$（n∈N^*），則當(dāng)a_n+b_n取最小值時(shí)n=10．

Answer 1

分析 求出{a_n}的通項(xiàng)公式，利用基本不等式求出a_n+b_n的最小值及其條件．

解答 解：∵當(dāng)n=1時(shí)，a₁=$\frac{{{a}_{1}}^{2}+{a}_{1}}{2}$，∵a₁＞0，∴a₁=1．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{{{a}_{n}}^{2}-{{a}_{n-1}}^{2}+{a}_{n}-{a}_{n-1}}{2}$，∴a_n+a_n-1=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）．
∵數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)都是正數(shù)，∴a_n+a_n-1≠0，∴a_n-a_n-1=1．
∴{a_n}是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列．∴a_n=n．
∴a_n+b_n=n+1+$\frac{121}{n+1}$-1≥2$\sqrt{121}$-1=21．當(dāng)且僅當(dāng)n+1=$\frac{121}{n+1}$即n=10時(shí)取等號(hào)．
故答案為10．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列的遞推公式，基本不等式，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于中檔題．