Question

10．已知函數(shù)f（x）=2x-$\frac{a}{x}$（a＞0）．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性并證明你的結(jié)論；
（2）求證：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求出定義域，求出f（-x），判斷f（-x）與f（x）的關系得出結(jié)論．
（2）設0＜x₁＜x₂，對f（x₁）-f（x₂）化簡，根據(jù)0＜x₁＜x₂判斷f（x₁）-f（x₂）的符號．

解答 解：（1）由函數(shù)有意義得x≠0，∴f（x）的定義域為{x|x≠0}，關于原點對稱．
∵f（-x）=-2x+$\frac{a}{x}$=-f（x），∴f（x）是奇函數(shù)．
（2）設x₁，x₂是（0，+∞）上的任意兩個數(shù)，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=2x₁-2x₂+$\frac{a}{{x}_{2}}$-$\frac{a}{{x}_{1}}$=2（x₁-x₂）+$\frac{a（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=（x₁-x₂）（2+$\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}$）．
∵x₁＜x₂，a＞0∴x₁-x₂＜0，$\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．

點評 本題考查了函數(shù)奇偶性，單調(diào)性的判斷與證明，屬于基礎題．