10.已知函數(shù)f(x)=2x-$\frac{a}{x}$(a>0).
(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性并證明你的結(jié)論;
(2)求證:函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù).

分析 (1)求出定義域,求出f(-x),判斷f(-x)與f(x)的關系得出結(jié)論.
(2)設0<x1<x2,對f(x1)-f(x2)化簡,根據(jù)0<x1<x2判斷f(x1)-f(x2)的符號.

解答 解:(1)由函數(shù)有意義得x≠0,∴f(x)的定義域為{x|x≠0},關于原點對稱.
∵f(-x)=-2x+$\frac{a}{x}$=-f(x),∴f(x)是奇函數(shù).
(2)設x1,x2是(0,+∞)上的任意兩個數(shù),且x1<x2,
則f(x1)-f(x2)=2x1-2x2+$\frac{a}{{x}_{2}}$-$\frac{a}{{x}_{1}}$=2(x1-x2)+$\frac{a({x}_{1}-{x}_{2})}{{x}_{1}{x}_{2}}$=(x1-x2)(2+$\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}$).
∵x1<x2,a>0∴x1-x2<0,$\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}$>0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù).

點評 本題考查了函數(shù)奇偶性,單調(diào)性的判斷與證明,屬于基礎題.

練習冊系列答案
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