Question

13．在正四棱錐P-ABCD中，PA=2，E為PC的中點(diǎn)，若異面直線PA與BE所成角為45°，則四棱錐P-ABCD的高為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 過P作PO⊥平面ABCD，垂足為O，以O(shè)為原點(diǎn)，過O作DA的平行線為x軸，過O作AB的平行線為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出四棱錐P-ABCD的高．

解答 解：過P作PO⊥平面ABCD，垂足為O，以O(shè)為原點(diǎn)，過O作DA的平行線為x軸，過O作AB的平行線為y軸，OP為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2a，
則A（a，-a，0），B（a，a，0），P（0，0，$\sqrt{4-2{a}^{2}}$），C（-a，a，0），E（-$\frac{a}{2}$，$\frac{a}{2}$，$\frac{\sqrt{4-2{a}^{2}}}{2}$），
$\overrightarrow{PA}$=（a，-a，-$\sqrt{4-2{a}^{2}}$），$\overrightarrow{BE}$=（-$\frac{3a}{2}$，-$\frac{a}{2}$，$\frac{\sqrt{4-2{a}^{2}}}{2}$），
∵異面直線PA與BE所成角為45°，
∴cos45°=$\frac{|-\frac{3{a}^{2}}{2}+\frac{{a}^{2}}{2}-（2-{a}^{2}）|}{\sqrt{4}•\sqrt{1+2{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$或a=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（舍），
∴PO=$\sqrt{4-2×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四棱錐的高的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．