Question

13．設函數(shù)f（x）=1+（a+1）x-x²-x³
（1）a=0時，討論f（x）在其R上的單調性．
（2）a=0時，寫出f（x）在x=0處切線l的方程
（3）若a＞0，0≤x≤1，求f（x）取得最大值時的x的值．

Answer 1

分析 （1）利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性即可；
（2）求出函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義進行求解即可．
（3）求函數(shù)的導數(shù)，判斷函數(shù)的單調性，討論兩根與1的大小關系，判斷函數(shù)在[0，1]時的單調性，得出取最值時的x的取值．

解答 解：（1）當a=0時，f（x）=1+x-x²-x³，
f′（x）=1-2x-3x²=-（x+1）（3x-1），
由f′（x）＞0，得-1＜x＜$\frac{1}{3}$，此時函數(shù)單調遞增，
由f′（x）＜0，得x＜-1或x＞$\frac{1}{3}$，此時函數(shù)單調遞減，
即函數(shù)的單調遞增區(qū)間為為（-1，$\frac{1}{3}$），單調遞減區(qū)間為（-∞，-1），（$\frac{1}{3}$，+∞）．
（2）a=0時，f（x）=1+x-x²-x³，f′（x）=1-2x-3x²，
則f（0）=1，f′（0）=1，
即f（x）在x=0處切線l的方程為y-1=x，即y=x+1．
（3）若a＞0，f′（x）=1+a-2x-3x²，
由f′（x）=0，得x₁=$\frac{-1-\sqrt{4+3a}}{3}$，x₂=$\frac{-1+\sqrt{4+3a}}{3}$，x₁＜x₂，
∴由f′（x）＜0得x＜$\frac{-1-\sqrt{4+3a}}{3}$，x＞$\frac{-1+\sqrt{4+3a}}{3}$；
由f′（x）＞0得$\frac{-1-\sqrt{4+3a}}{3}$＜x＜$\frac{-1+\sqrt{4+3a}}{3}$；
故f（x）在（-∞，$\frac{-1-\sqrt{4+3a}}{3}$）和（$\frac{-1+\sqrt{4+3a}}{3}$，+∞）單調遞減，
在（$\frac{-1-\sqrt{4+3a}}{3}$，$\frac{-1+\sqrt{4+3a}}{3}$）上單調遞增；
∵a＞0，∴x₁＜0，x₂＞0，∵x∈[0，1]，當$\frac{-1+\sqrt{4+3a}}{3}≥1$時，即a≥4
①當a≥4時，x₂≥1，由（Ⅰ）知，f（x）在[0，1]上單調遞增，
∴f（x）在x=0和x=1處分別取得最小值和最大值．
②當0＜a＜4時，x₂＜1，f（x）在[0，x₂]單調遞增，在[x₂，1]上單調遞減，
因此f（x）在x=x₂=$\frac{-1+\sqrt{4+3a}}{3}$處取得最大值，又f（0）=1，f（1）=a，
∴當0＜a＜1時，f（x）在x=1處取得最小值；
當a=1時，f（x）在x=0和x=1處取得最小值；
當1＜a＜4時，f（x）在x=0處取得最小值．

點評 本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性及最值的知識，考查學生分類討論思想的運用能力，綜合性較強，難度較大注意使用分類討論的數(shù)學思想進行求解．