Question

12．已知△ABC中角A，B，C對邊分別為a，b，c，且滿足$2asin（C+\frac{π}{6}）=b+c$．
（Ⅰ）求A的值；
（Ⅱ）若$B=\frac{π}{4}，b-a=\sqrt{2}-\sqrt{3}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知等式可得$\sqrt{3}$sinA=cosA+1，從而解得sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$．根據(jù)A為三角形內(nèi)角，即可求得A的值．
（Ⅱ）由已知及（Ⅰ）可求C，設(shè)△ABC外接圓半徑為R，由正弦定理可得：b-a=2R（$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=$\sqrt{2}$-$\sqrt{3}$，即可解得R，可求a，b，利用三角形面積公式即可得解．

解答 解：（Ⅰ）∵△ABC中，角A、B、C的對應(yīng)邊分別為a、b、c，且滿足2asin（C+$\frac{π}{6}$）=b+c，
∴2asinCcos$\frac{π}{6}$+2acosCsin$\frac{π}{6}$=$\sqrt{3}$asinC+acosC=b+c，
∴$\sqrt{3}$sinAsinC+sinAcosC=sinB+sinC，
∴$\sqrt{3}$sinAsinC+sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC+sinC，
∴$\sqrt{3}$sinAsinC=cosAsinC+sinC，
∴由sinC≠0，可得：$\sqrt{3}$sinA=cosA+1，
∴2sin（A-$\frac{π}{6}$）=1，sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∴A=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）∵設(shè)△ABC外接圓半徑為R，由正弦定理可得：b-a=2R（sinB-sinA）=2R（$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=$\sqrt{2}$-$\sqrt{3}$，
∴R=1，可得：a=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{3}$，
∵C=π-B-A=$\frac{5π}{12}$，
∴sinC=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{3}×$$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$=$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題主要考查了正弦定理，三角形面積公式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．