Question

11．以下幾個(gè)命題中，其中真命題的序號(hào)為（　�。�
①設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，|$\overrightarrow{PA}$|-|$\overrightarrow{PB}$|=k，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；
②設(shè)定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動(dòng)弦AB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$），則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓；
③拋物線y=$\frac{1}{8}$x²的焦點(diǎn)是橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的上頂點(diǎn)；
④雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=-1的漸近線方程為y=±$\frac{1}{2}$x．

• A． ①②③④
• B． ②③
• C． ②④
• D． ③④

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線，橢圓，拋物線的定義和性質(zhì)，逐一分析四個(gè)結(jié)論的真假，可得答案．

解答 解：①設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，|OA|-|OB|=k＞|AB|，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線
|OA|-|OB|=k=|AB|，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為兩條射線，故錯(cuò)誤；
②設(shè)定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動(dòng)弦AB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$），則P是AB的中點(diǎn)，
由AB的長(zhǎng)度不變，則圓心C到AB的距離即CP長(zhǎng)不變，
則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓，故錯(cuò)誤；
③拋物線y=$\frac{1}{8}$x²的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x²=8y，故其焦點(diǎn)為（0，2）點(diǎn)，該點(diǎn)是橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的上頂點(diǎn)，故正確；
④雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=-1的漸近線是$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=0，即y=±$\frac{1}{2}$x，故正確．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷為載體，考查了圓錐曲線的定義和性質(zhì)，難度中檔．