Question

3．已知函數(shù)f（x）=|x-a|．
（1）若a=2，解不等式：xf（x）＜x；
（2）若f（x）+f（x+2a）≥|a|-|a-1|+3對任意的實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）去掉絕對值符合，等價轉(zhuǎn)化，即可解不等式；
（2）f（x）+f（x+2a）≥|a|-|a-1|+3對任意的實數(shù)x恒成立，可化為|x-a|+|x+a|≥|a|-|a-1|+3對任意的實數(shù)x恒成立，利用三角不等式，可得|a|+|a-1|≥3，利用零點分段，即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）若a=2，原不等式可化為$\left\{\begin{array}{l}{x≥2}\\{（x-2）x＜x}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜2}\\{-（x-2）x＜x}\end{array}\right.$，
∴x＜0或1＜x＜3，
∴不等式的解集為{x|x＜0或1＜x＜3}；
（2）f（x）+f（x+2a）≥|a|-|a-1|+3對任意的實數(shù)x恒成立，
可化為|x-a|+|x+a|≥|a|-|a-1|+3對任意的實數(shù)x恒成立，
∵|x-a|+|x+a|≥|2a，
∴2a≥|a|-|a-1|+3，
∴|a|+|a-1|≥3．
a＜0時，-a-a+1≥3，
∴a≤-1；
0≤a≤1時，a-a+1≥3，不成立；
a＞1時，a+a-1≥3，
∴a≥2．
綜上所述，a≤-1或a≥2．

點評 本題考查絕對值函數(shù)，考查三角不等式的運用，考查學(xué)生的計算能力，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．