Question

10．已知函數(shù)f（x）=x|2a-x|-a，a∈R．
（1）若a=1時，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）已知a＞-1，討論函數(shù)f（x）的零點個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）當a=1時，f（x）=x|2-x|-1=$\left\{\begin{array}{l}{2x-{x}^{2}-1，x≤2}\\{{x}^{2}-2x-1，x＞2}\end{array}\right.$，從而結合二次函數(shù)判斷單調區(qū)間；
（2）化簡f（x）=x|2a-x|-a=$\left\{\begin{array}{l}{2ax-{x}^{2}-a，x≤2a}\\{{x}^{2}-2ax-a，x＞2a}\end{array}\right.$，從而討論以確定函數(shù)的單調性及極值，從而確定零點的個數(shù)．

解答 解：（1）當a=1時，f（x）=x|2-x|-1=$\left\{\begin{array}{l}{2x-{x}^{2}-1，x≤2}\\{{x}^{2}-2x-1，x＞2}\end{array}\right.$，
故結合二次函數(shù)的性質可知，
f（x）的單調增區(qū)間為（-∞，1），（2，+∞），
單調減區(qū)間為（1，2）；
（2）f（x）=x|2a-x|-a=$\left\{\begin{array}{l}{2ax-{x}^{2}-a，x≤2a}\\{{x}^{2}-2ax-a，x＞2a}\end{array}\right.$，
①當-1＜a＜0時，
f（x）的單調增區(qū)間為（-∞，2a），（a，+∞），
單調減區(qū)間為（2a，a）；
且f（2a）=-a＞0，f（a）=-a²-a=-a（a+1）＞0，
故函數(shù)f（x）只有一個零點；
②當a=0時，f（x）在R上是增函數(shù)；
且f（0）=0，故函數(shù)f（x）只有一個零點；
③當a＞0時，
f（x）的單調增區(qū)間為（-∞，a），（2a，+∞），
單調減區(qū)間為（a，2a）；
f（a）=a²-a=a（a-1），f（2a）=-a＜0，
（1）當0＜a＜1時，f（a）＜0，
故函數(shù)f（x）只有一個零點；
（2）當a=1時，f（a）=0，
故函數(shù)f（x）只有兩個零點；
（3）當a＞1時，f（a）＞0，
故函數(shù)f（x）有三個零點；
綜上所述，
①當-1＜a＜1時，函數(shù)f（x）只有一個零點；
②當a=1時，函數(shù)f（x）只有兩個零點；
③當a＞1時，函數(shù)f（x）有三個零點．

點評 本題考查了絕對值函數(shù)的應用及分段函數(shù)的應用，同時考查了分類討論的思想應用．