Question

10．已知函數(shù)f（x）=x|2a-x|-a，a∈R．
（1）若a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）已知a＞-1，討論函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x|2-x|-1=$\left\{\begin{array}{l}{2x-{x}^{2}-1，x≤2}\\{{x}^{2}-2x-1，x＞2}\end{array}\right.$，從而結(jié)合二次函數(shù)判斷單調(diào)區(qū)間；
（2）化簡(jiǎn)f（x）=x|2a-x|-a=$\left\{\begin{array}{l}{2ax-{x}^{2}-a，x≤2a}\\{{x}^{2}-2ax-a，x＞2a}\end{array}\right.$，從而討論以確定函數(shù)的單調(diào)性及極值，從而確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x|2-x|-1=$\left\{\begin{array}{l}{2x-{x}^{2}-1，x≤2}\\{{x}^{2}-2x-1，x＞2}\end{array}\right.$，
故結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知，
f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，1），（2，+∞），
單調(diào)減區(qū)間為（1，2）；
（2）f（x）=x|2a-x|-a=$\left\{\begin{array}{l}{2ax-{x}^{2}-a，x≤2a}\\{{x}^{2}-2ax-a，x＞2a}\end{array}\right.$，
①當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，
f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，2a），（a，+∞），
單調(diào)減區(qū)間為（2a，a）；
且f（2a）=-a＞0，f（a）=-a²-a=-a（a+1）＞0，
故函數(shù)f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)；
②當(dāng)a=0時(shí)，f（x）在R上是增函數(shù)；
且f（0）=0，故函數(shù)f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)；
③當(dāng)a＞0時(shí)，
f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，a），（2a，+∞），
單調(diào)減區(qū)間為（a，2a）；
f（a）=a²-a=a（a-1），f（2a）=-a＜0，
（1）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（a）＜0，
故函數(shù)f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，f（a）=0，
故函數(shù)f（x）只有兩個(gè)零點(diǎn)；
（3）當(dāng)a＞1時(shí)，f（a）＞0，
故函數(shù)f（x）有三個(gè)零點(diǎn)；
綜上所述，
①當(dāng)-1＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)；
②當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）只有兩個(gè)零點(diǎn)；
③當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）有三個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值函數(shù)的應(yīng)用及分段函數(shù)的應(yīng)用，同時(shí)考查了分類(lèi)討論的思想應(yīng)用．