Question

5．過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{6}$=1的右焦點(diǎn)，傾斜角為30°的直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求|AB|；
（3）求△AF₁B的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）確定直線AB的方程，代入雙曲線方程，求出A，B的坐標(biāo)．
（2）利用A，B的坐標(biāo)，即可求線段AB的長(zhǎng)；
（3）利用距離公式，直接求△AF₁B的周長(zhǎng)．

解答 解：（1）由雙曲線的方程得F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0），直線AB的方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-3）①
將其代入雙曲線方程消去y得，5x²+6x-27=0，解之得x₁=-3，x₂=$\frac{9}{5}$．
將x₁，x₂代入①，得y₁=-2$\sqrt{3}$，y₂=-$\frac{2\sqrt{3}}{5}$
∴A（-3，-2$\sqrt{3}$），B（$\frac{9}{5}$，-$\frac{2\sqrt{3}}{5}$）．
（2）由A（-3，-2$\sqrt{3}$），B（$\frac{9}{5}$，-$\frac{2\sqrt{3}}{5}$）．
故|AB|=$\sqrt{{（-3-\frac{9}{5}）}^{2}+{（-2\sqrt{3}+\frac{2\sqrt{3}}{5}）}^{2}}$=$\frac{16}{5}\sqrt{3}$．
（3）周長(zhǎng)=|AB|+|AF₁|+|BF₁|=$\frac{16}{5}\sqrt{3}$+$\sqrt{{（-3+3）}^{2}+{（-2\sqrt{3}+0）}^{2}}$+$\sqrt{{（-3+\frac{9}{5}）}^{2}+{（0+\frac{2\sqrt{3}}{5}）}^{2}}$=6$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查雙曲線的定義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．