Question

13．已知函數(shù)y=e^x（x²-4x+1）．求：
（1）函數(shù)的極值、單調(diào)區(qū)間；
（2）函數(shù)在閉區(qū)間[-2，4]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)等于0找出極值點(diǎn)，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）先確定所給區(qū)間的單調(diào)性，將極值找出后，再將端點(diǎn)值找到后進(jìn)行比較，較大的為最大值，較小的為最小值．

解答 解：（1）∵y=e^x（x²-4x+1），
∴y′=e^x（x²-2x-3），
y′=0時(shí)，x=3或x=-1，
∴x=-1時(shí)取極大值為$\frac{6}{e}$，x=3時(shí)取極小值為-2e³，
函數(shù)的遞增區(qū)間是（-∞，-1），（3，+∞），遞減區(qū)間是（-1，3），
（2）∵函數(shù)y在（-2，-1）上單調(diào)遞增，在（-1，3）上單調(diào)遞減，（3，4）上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)在[-2，4]上有極大值為$\frac{6}{e}$，極小值為-2e³，
兩個(gè)端點(diǎn)值為13e^-2，和e⁴，
∴y的最大值為e⁴，最小值為-2e³．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)性質(zhì)，有極值、單調(diào)性和最值問(wèn)題．