Question

2．已知f（x，y）=（x-y）²+（$\frac{x}{4}$+$\frac{1}{y}$）²（y≠0），則f（x，y）的最小值是$\frac{16}{17}$．

Answer 1

分析 f（x，y）=（x-y）²+（$\frac{x}{4}$+$\frac{1}{y}$）²的幾何意義是兩點(diǎn)的距離的平方，從而構(gòu)造函數(shù)y=$\frac{x}{4}$與y=-$\frac{1}{x}$，從而結(jié)合圖象解得．

解答 解：設(shè)點(diǎn)A（x，$\frac{x}{4}$），B（y，-$\frac{1}{y}$），
故f（x，y）=（x-y）²+（$\frac{x}{4}$+$\frac{1}{y}$）²的幾何意義是點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離的平方；
而點(diǎn)A在直線y=$\frac{x}{4}$上，點(diǎn)B在雙曲線y=-$\frac{1}{x}$上，
故作直線y=$\frac{x}{4}$與雙曲線y=-$\frac{1}{x}$的圖象如下，
，
結(jié)合圖象可知，轉(zhuǎn)化為求雙曲線上的點(diǎn)到直線y=$\frac{x}{4}$的最小距離的平方，
∵y=-$\frac{1}{x}$，
∴令y′=$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{1}{4}$解得x=±2；
故切點(diǎn)坐標(biāo)為C（-2，$\frac{1}{2}$）或D（2，-$\frac{1}{2}$）；
點(diǎn)C到直線y=$\frac{x}{4}$的距離d₁=$\frac{|\frac{1}{2}+\frac{1}{2}|}{\sqrt{1+\frac{1}{16}}}$=$\frac{4\sqrt{17}}{17}$，
點(diǎn)D到直線y=$\frac{x}{4}$的距離d₂=$\frac{|-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}|}{\sqrt{1+\frac{1}{16}}}$=$\frac{4\sqrt{17}}{17}$，
故f（x，y）的最小值是（$\frac{4\sqrt{17}}{17}$）²=$\frac{16}{17}$．
故答案為：$\frac{16}{17}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的最值的求法及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，同時(shí)考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．