Question

18．已知（$\sqrt{x}$+$\frac{2}{x}$）ⁿ展開(kāi)式中的所有二項(xiàng)式系數(shù)和為512，
（1）求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)；
（2）求展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，令x=1求出n的值，再利用通項(xiàng)公式求出展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)；
（2）令x=1，即可求出展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和．

解答 解：（1）對(duì)（$\sqrt{x}$+$\frac{2}{x}$）ⁿ，所有二項(xiàng)式系數(shù)和為2ⁿ=512，
解得n=9；
設(shè)T_r+1為常數(shù)項(xiàng)，則：
T_r+1=C₉^r•${（\sqrt{x}）}^{9-r}$•${（\frac{2}{x}）}^{r}$=C₉^r2^r${x}^{\frac{9-r}{2}-r}$，
由$\frac{9-r}{2}$-r=0，得r=3，
∴常數(shù)項(xiàng)為：C₉³•2³=672；
（2）令x=1，得（1+2）⁹=3⁹．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式展開(kāi)式定理的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了賦值法求展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)和的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．