14.在極坐標(biāo)系中,曲線C的方程為${ρ^2}=\frac{3}{{1+2{{cos}^2}θ}}$,點(diǎn)$R(2\sqrt{2},\frac{π}{4})$,以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位.
(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程及點(diǎn)R的直角坐標(biāo);
(2)設(shè)P為曲線C上一動(dòng)點(diǎn),以PR為對(duì)角線的矩形PQRS的一邊垂直于極軸,求矩形PQRS周長(zhǎng)的最小值及此時(shí)點(diǎn)P的直角坐標(biāo).

分析 (1)由極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)即可;
(2)由參數(shù)方程,設(shè)出P的坐標(biāo),得到矩形的周長(zhǎng),根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出最值.

解答 解:(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ,
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為$\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{3}=1$,點(diǎn)R的直角坐標(biāo)為(2,2),
(2)曲線C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=sinα}\end{array}}\right.(α$為參數(shù),α∈[0,2π)),
設(shè)$P(cosα,\sqrt{3}sinα)$,如圖,依題意可得:
|PQ|=2-cosα,$|{QR}|=2-\sqrt{3}sinα$,
∴矩形周長(zhǎng)=$2|{PQ}|+2|{QR}|=4-2cosα+4-2\sqrt{3}sinα=8-4sin(α+\frac{π}{6})$,
∴當(dāng)$α=\frac{π}{3}$時(shí),周長(zhǎng)的最小值為4,此時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為$(\frac{1}{2},\frac{3}{2})$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化,以及利用平面幾何知識(shí)解決最值問(wèn)題.利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系,即利用ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,進(jìn)行代換即得.

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