Question

14．在極坐標(biāo)系中，曲線C的方程為${ρ^2}=\frac{3}{{1+2{{cos}^2}θ}}$，點(diǎn)$R（2\sqrt{2}，\frac{π}{4}）$，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程及點(diǎn)R的直角坐標(biāo)；
（2）設(shè)P為曲線C上一動(dòng)點(diǎn)，以PR為對(duì)角線的矩形PQRS的一邊垂直于極軸，求矩形PQRS周長(zhǎng)的最小值及此時(shí)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)即可；
（2）由參數(shù)方程，設(shè)出P的坐標(biāo)，得到矩形的周長(zhǎng)，根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出最值．

解答 解：（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為$\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{3}=1$，點(diǎn)R的直角坐標(biāo)為（2，2），
（2）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=sinα}\end{array}}\right.（α$為參數(shù)，α∈[0，2π）），
設(shè)$P（cosα，\sqrt{3}sinα）$，如圖，依題意可得：
|PQ|=2-cosα，$|{QR}|=2-\sqrt{3}sinα$，
∴矩形周長(zhǎng)=$2|{PQ}|+2|{QR}|=4-2cosα+4-2\sqrt{3}sinα=8-4sin（α+\frac{π}{6}）$，
∴當(dāng)$α=\frac{π}{3}$時(shí)，周長(zhǎng)的最小值為4，此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為$（\frac{1}{2}，\frac{3}{2}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，以及利用平面幾何知識(shí)解決最值問(wèn)題．利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進(jìn)行代換即得．