Question

15．《九章算術(shù)》中將底面的長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為蟞臑．在如圖所示的陽(yáng)馬P-ABCD中，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD=BC，則當(dāng)點(diǎn)E在下列四個(gè)位置：PA中點(diǎn)、PB中點(diǎn)、PC中點(diǎn)、PD中點(diǎn)時(shí)分別形成的四面體E-BCD中，蟞臑有（　�。�

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 分情況討論：（1）當(dāng)點(diǎn)E在PC中點(diǎn)時(shí)，證明BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，可知四面體EBCD的四個(gè)面都是直角三角形，即可得出結(jié)論；
（2）當(dāng)點(diǎn)E在PA中點(diǎn)時(shí)：以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DP為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PD=DC=BC=1，則可求BC，BE，EC三邊長(zhǎng)不滿足勾股定理，可得△EBC不是直角三角形，故故四面體E-BCD不是蟞臑．
（3）當(dāng)點(diǎn)E在PB中點(diǎn)時(shí)：易證△BCE不是直角三角形（同上），可得四面體E-BCD不是蟞臑．
（4）當(dāng)點(diǎn)E在PD中點(diǎn)時(shí)：由BC⊥平面ECD，DE⊥平面DBC，可知四面體EBCD的四個(gè)面都是直角三角形，即四面體EBCD是一個(gè)鱉臑．

解答 證明：（1）當(dāng)點(diǎn)E在PC中點(diǎn)時(shí)：
因?yàn)镻D⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，
因?yàn)锳BCD為正方形，所以BC⊥CD，
因?yàn)镻D∩CD=D，
所以BC⊥平面PCD，
因?yàn)镈E?平面PCD，
所以BC⊥DE，
因?yàn)镻D=CD，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，
所以DE⊥PC，
因?yàn)镻C∩BC=C，
所以DE⊥平面PBC，
由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，可知四面體EBCD的四個(gè)面都是直角三角形，
即四面體EBCD是一個(gè)鱉臑，其四個(gè)面的直角分別是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB；
（2）當(dāng)點(diǎn)E在PA中點(diǎn)時(shí)：如圖，以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DP為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)PD=DC=BC=1，則：C（0，1，0），B（1，1，0），D（0，0，0），E（$\frac{1}{2}$，0，$\frac{1}{2}$），
可求：BC=1，BE=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，EC=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，三邊長(zhǎng)不滿足勾股定理，可得△EBC不是直角三角形，
故故四面體E-BCD不是蟞臑．

（3）如下圖當(dāng)點(diǎn)E在PB中點(diǎn)時(shí)：易證△BCE不是直角三角形（同上），故四面體E-BCD不是蟞臑．

（4）如下圖當(dāng)點(diǎn)E在PD中點(diǎn)時(shí)：

由BC⊥平面ECD，DE⊥平面DBC，可知四面體EBCD的四個(gè)面都是直角三角形，
即四面體EBCD是一個(gè)鱉臑．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．