Question

18．以平面直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，兩種坐標系中取相同的長度單位，已知直線1的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=t+3}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}t+\frac{3\sqrt{3}}{4}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），曲線C的極坐標方程是ρ=$\frac{6cosθ}{1-cos2θ}$，求直線l被曲線C截得的弦長．

Answer 1

分析 直線1的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=t+3}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}t+\frac{3\sqrt{3}}{4}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），化為標準參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{\sqrt{3}}{2}m}\\{y=\frac{3\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{2}m}\end{array}\right.$，曲線C的極坐標方程是ρ=$\frac{6cosθ}{1-cos2θ}$，化為2ρ²sin²θ=6ρcosθ，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，即可化為直角坐標方程．把直線的參數(shù)方程代入拋物線方程，利用直線l被曲線C截得的弦長=|m₁-m₂|=$\sqrt{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}-4{m}_{1}{m}_{2}}$，即可得出．

解答 解：直線1的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=t+3}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}t+\frac{3\sqrt{3}}{4}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），化為標準參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{\sqrt{3}}{2}m}\\{y=\frac{3\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{2}m}\end{array}\right.$，
曲線C的極坐標方程是ρ=$\frac{6cosθ}{1-cos2θ}$，化為2ρ²sin²θ=6ρcosθ，化為直角坐標方程：y²=3x．
把直線的參數(shù)方程代入拋物線方程可得：$（\frac{3\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{2}m）^{2}$=3$（3+\frac{\sqrt{3}}{2}m）$，
可得：4m²-12$\sqrt{3}$m-117=0，
∴m₁+m₂=3$\sqrt{3}$，m₁m₂=-$\frac{117}{4}$．
∴直線l被曲線C截得的弦長=|m₁-m₂|=$\sqrt{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}-4{m}_{1}{m}_{2}}$=$\sqrt{（3\sqrt{3}）^{2}-4×（-\frac{117}{4}）}$=12．

點評 本題考查了極坐標化為直角坐標、弦長公式、直線參數(shù)方程的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．