Question

1．設(shè)等比數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，且${a_1}=\frac{1}{2}，{a_4}^2=4{a_2}•{a_8}$，若$\frac{1}{b_n}={log_2}{a_1}+{log_2}{a_2}+…+{log_2}{a_n}$，則數(shù)列{b_n}的前10項和為（　�。�

• A． $-\frac{20}{11}$
• B． $\frac{20}{11}$
• C． $-\frac{9}{5}$
• D． $\frac{9}{5}$

Answer 1

分析 通過$\frac{1}{4}$q⁶=4•$\frac{1}{2}$q•$\frac{1}{2}$q⁷可知q=$\frac{1}{2}$，進而可知a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$，利用對數(shù)的運算性質(zhì)、裂項可知b_n=-2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），并項相加即得結(jié)論．

解答 解：依題意，a₂=$\frac{1}{2}$q，a₄=$\frac{1}{2}$q³，a₈=$\frac{1}{2}$q⁷，
則$\frac{1}{4}$q⁶=4•$\frac{1}{2}$q•$\frac{1}{2}$q⁷，即q²=$\frac{1}{{2}^{2}}$，
又∵等比數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，
∴q=$\frac{1}{2}$，
∴a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∵$\frac{1}{b_n}={log_2}{a_1}+{log_2}{a_2}+…+{log_2}{a_n}$
=log₂（a₁a₂a₃…a_n）
=$lo{g}_{2}\frac{1}{{2}^{\frac{n（n+1）}{2}}}$
=-$\frac{n（n+1）}{2}$
∴b_n=-$\frac{2}{n（n+1）}$=-2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
故所求值為-2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{10}$-$\frac{1}{11}$）=-$\frac{20}{11}$，
故選：A．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，考查裂項相消法，涉及對數(shù)的運算性質(zhì)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．