Question

16．在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若AB=$\sqrt{2}$BB₁，則AB₁與C₁B所成的角的余弦值0．

Answer 1

分析 利用向量加法的三角形法則，可將AB₁與C₁B的方向向量分別用三棱柱的棱對應(yīng)的向量表示，進(jìn)而設(shè)BB₁=1，AB=$\sqrt{2}$，分析出兩向量數(shù)量積為0，互相垂直，得到余弦值．

解答 解：∵AB=$\sqrt{2}$BB₁，設(shè)BB₁=1，AB=$\sqrt{2}$，$\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{{C}_{1}B}$=（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B{B}_{1}}）•（\overrightarrow{{C}_{1}C}+\overrightarrow{CB}）$$（\overrightarrow{{C}_{1}{C}_{\;}}+\overrightarrow{CB}）$
=$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{C{C}_{1}}+\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CB}-{\overrightarrow{B{B}_{1}}}^{2}+\overrightarrow{B{B}_{1}}•\overrightarrow{CB}$=0+$\sqrt{2}×\sqrt{2}×cos60°$-1+0=0
∴直線AB₁與C₁B所成角為90°，
所以AB₁與C₁B所成的角的余弦值為0；
故答案為：0．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是異面直線及其所成的角，其中利用向量法將空間直線夾角轉(zhuǎn)化為向量夾角是解答的關(guān)鍵．