Question

8．某小組有A、B、C、D、E、F六位同學(xué)，其中A、B、C、D四位同學(xué)成績較好，E、F兩位同學(xué)成績較弱．
（1）某次活動上，決定由兩位成績較好的同學(xué)和一位成績較差的同學(xué)組隊參加，則A和B不都去參加的概率；
（2）一次學(xué)習(xí)競賽中，規(guī)定每小組先通過抽簽方式將6人排序，并按順序依次出場參賽，每次出場1人，解答一個問題，已知4位成績較好的同學(xué)可以解答出任意一個題目，而成績較弱的同學(xué)無法完整解答出每一個題目，一旦出現(xiàn)解答不完整情況，該組答題即停止，用X代表該組出場參賽的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX．

Answer 1

分析 （1）先求出基本事件總數(shù)n=${C}_{4}^{2}{C}_{2}^{1}$，A和B不都去參加的對立事件是A和B都去參加，由此利用對立事件概率計算公式能求出A和B不都去參加的概率．
（2）由已知得X的可能取值為0，1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（1）∵某小組有A、B、C、D、E、F六位同學(xué)，其中A、B、C、D四位同學(xué)成績較好，E、F兩位同學(xué)成績較弱．
某次活動上，決定由兩位成績較好的同學(xué)和一位成績較差的同學(xué)組隊參加，
基本事件總數(shù)n=${C}_{4}^{2}{C}_{2}^{1}$=12，
A和B不都去參加的對立事件是A和B都去參加，
∴A和B不都去參加的概率P=1-$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{1}}$=1-$\frac{2}{12}$=$\frac{5}{6}$．
（2）由已知得X的可能取值為1，2，3，4，
P（X=1）=$\frac{2}{6}$=$\frac{1}{3}$，
P（X=2）=$\frac{4}{6}×\frac{2}{5}$=$\frac{4}{15}$，
P（X=3）=$\frac{4}{6}×\frac{3}{5}×\frac{2}{4}$=$\frac{1}{5}$，
P（X=4）=$\frac{4}{6}×\frac{3}{5}×\frac{2}{4}×\frac{2}{3}$=$\frac{2}{15}$，
P（X=5）=$\frac{4}{6}×\frac{3}{5}×\frac{2}{4}×\frac{1}{3}×\frac{2}{2}$=$\frac{1}{15}$，
∴X的分布列為：

X	1	2	3	4	5
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{4}{15}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{2}{15}$	$\frac{1}{15}$

E（X）=$1×\frac{1}{3}+2×\frac{4}{15}+3×\frac{1}{5}+4×\frac{2}{15}$+5×$\frac{1}{15}$=$\frac{7}{3}$．

點評 本題考查概率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意對立事件概率計算公式和相互獨立事件概率乘法公式的合理運用．