Question

17．某同學(xué)用“五點法”畫函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}}$）在某一個周期內(nèi)的圖象時，列表如下：

x	$\frac{2}{3}$π	x1	$\frac{8}{3}$π	x2	x3
ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
Asin（ωx+φ）	0	2	0	-2	0

（1）求函數(shù)f（x）的表達式；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移π個單位，可得到函數(shù)g（x）的圖象，且函數(shù)y=f（x）•g（x）在區(qū)間（0，m）上是單調(diào)函數(shù)，求m的最大值．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{2}{3}$πω+φ=0，$\frac{8}{3}$πω+φ=π，可解得ω，φ，由Asin$\frac{π}{2}$=2，可得A，即可得解函數(shù)f（x）的表達式．
（2）由圖象平移可求g（x），從而可求y=f（x）•g（x）=2sin（x-$\frac{2π}{3}$），由x∈（0，m），可求-$\frac{2}{3}$π＜x-$\frac{2}{3}$π＜m-$\frac{2}{3}$π，由題意可得-$\frac{2}{3}$π＜m-$\frac{2}{3}$π≤-$\frac{π}{2}$，即可解得m的最大值為$\frac{π}{6}$．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）由$\frac{2}{3}$πω+φ=0，$\frac{8}{3}$πω+φ=π，可得：ω=$\frac{1}{2}$，φ=-$\frac{π}{3}$，
由Asin$\frac{π}{2}$=2，可得：A=2，
故函數(shù)f（x）的表達式為：f（x）=2sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{3}$），…6分
（2）由圖象平移可知：g（x）=2cos（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{3}$），
所以y=f（x）•g（x）=2×2sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{3}$）cos（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{3}$）=2sin（x-$\frac{2π}{3}$），
因為x∈（0，m），
所以：-$\frac{2}{3}$π＜x-$\frac{2}{3}$π＜m-$\frac{2}{3}$π，要使該函數(shù)在區(qū)間（0，m）上是單調(diào)函數(shù)，
則-$\frac{2}{3}$π＜m-$\frac{2}{3}$π≤-$\frac{π}{2}$，
所以：0＜m≤$\frac{π}{6}$，
所以m的最大值為$\frac{π}{6}$．…12分

點評 本題主要考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．