Question

19．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的方程為y²=10x，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（Ⅰ）求曲線C的極坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，求弦長|AB|．

Answer 1

分析 （I）曲線C的方程為y²=10x，利用互化公式可得極坐標(biāo)方程．直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)可得普通方程．
（II）把直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程可得：3t²-20t-80=0，利用|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$即可得出．

解答 解：（I）曲線C的方程為y²=10x，利用互化公式可得：
ρ²sin²θ=10ρcosθ，即ρsin²θ=10cosθ．
直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
消去參數(shù)可得：$\sqrt{3}$x-y-2$\sqrt{3}$=0．
（II）把直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程可得：3t²-20t-80=0，
∴t₁+t₂=$\frac{20}{3}$，t₁t₂=-$\frac{80}{3}$．
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{20}{3}）^{2}-4×（-\frac{80}{3}）}$=$\frac{4\sqrt{85}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化、參數(shù)方程的應(yīng)用、直線與相交相交轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．