Question

6．設函數(shù)y=f（x+2）是R上偶函數(shù)，且?x₁，x₂≥2，x₁≠x₂，$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，若f（2m+3）＞f（4-m），則實數(shù)m范圍為m＞$\frac{1}{3}$或m＜-3．

Answer 1

分析 根據(jù)f（x+2）為偶函數(shù)得到函數(shù)關于x=2對稱，?x₁，x₂≥2，x₁≠x₂，$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，f（x）在[2，+∞）上單調遞增，進而2m+3＞4-m≥2或2m+3＜4-m＜2，或2-2m-3＞4-m-2，即可求出實數(shù)m范圍．

解答 解：∵f（x+2）為偶函數(shù)，∴f（-x+2）=f（x+2），
即函數(shù)f（x）關于x=2對稱，
∵?x₁，x₂≥2，x₁≠x₂，$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，
∴f（x）在[2，+∞）上單調遞增，
∵f（2m+3）＞f（4-m），
∴2m+3＞4-m≥2或2m+3＜4-m＜2，或2-2m-3＞4-m-2
∴m＞$\frac{1}{3}$或m＜-3．
故答案為：m＞$\frac{1}{3}$或m＜-3．

點評 本題主要考查函數(shù)的單調性和奇偶性的綜合運用，根據(jù)條件得到函數(shù)f（x）的對稱性是解決本題的關鍵．