Question

已知等差數(shù)列{a_n}的各項都不為零，公差d＞0，且a₅+a₁₀=0，記數(shù)列{-

2

an

}的前n項和為S_n，則使S_n＜0成立的正整數(shù)n的最小值為

 

．

Answer 1

考點：等差數(shù)列的前n項和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知條件推導出S₁₄=0，S₁₅＜0，由此能求出使S_n＜0成立的正整數(shù)n的最小值為15．

解答： 解：等差數(shù)列{a_n}的各項都不為零，公差d＞0，
∵a₅+a₁₀=0，
∴a₇+a₈=0，a₆+a₉=0，a₄+a₁₁=0，a₃+a₁₂=0，a₂+a₁₃=0，a₁+a₁₄=0，
∴a₁=-a₁₄，a₂=-a₁₃，a₃=-a₁₂，a₄=-a₁₁，a₅=-a₁₀，a₆=-a₉，a₇=-a₈，
∴（-

2

a1

）+（-

2

a14

）=0，（-

2

a2

）+（-

2

a13

）=0，…，
∴S₁₄=（-

2

a1

）+（-

2

a2

）+（-

2

a3

）+…+（-

2

a14

）=0，
∵a₇=-a₈，d＞0，
∴a₇＜0，a₈＞0，則當n≤7時，a_n＜0，當n≥8時，a_n＞0，
∴當n≤7時，-

2

an

＞0，當n≥8時，-

2

an

＜0，
∴當n≤7時，S_n隨著n的增大而增大，且大于0，當n≥8時，S_n隨著n的增大而減小，
∴S₁₅＜0，
∴使S_n＜0成立的正整數(shù)n的最小值為15．
故答案為：15．

點評：本題考查使S_n＜0成立的正整數(shù)n的最小值的求法，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．