Question

11．已知集合A={x|y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$}，函數(shù)f（x）滿足：①函數(shù)f（x）的定義域為A；②函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點對稱；③當x∈[-2，0）時，f（x）=-（$\frac{1}{2}$）^x+1．若|f（x）|≤n恒成立，則實數(shù)n的取值范圍是[3，+∞）．

Answer 1

分析 求函數(shù)y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$的定義域化簡A，可得f（x）的定義域，再求出x∈（0，2]的函數(shù)f（x）的解析式，求得分段函數(shù)f（x）的值域，結(jié)合|f（x）|≤n恒成立，求得實數(shù)n的取值范圍．

解答 解：由①可得f（x）的定義域為集合A={x|y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$}=[-2，2]，
由②可得f（x）為奇函數(shù)，故有f（0）=0．
設(shè)x∈（0，2]，則-x∈[-2，0），
由③可得f（-x）=-（$\frac{1}{2}$）^-x+1=-f（x），
∴f（x）=（$\frac{1}{2}$）^-x-1．．
綜上可得，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-（\frac{1}{2}）^{x}+1，-2≤x≤0}\\{0，x=0}\\{（\frac{1}{2}）^{-x}-1，0＜x≤2}\end{array}\right.$，
故f（x）在R上是減函數(shù)，且f（x）∈[-3，3]．
∵|f（x）|≤n恒成立，∴n≥3．
故答案為：[3，+∞）．

點評 本題主要考查函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的定義域和值域，分段函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．