Question

8．${（{1+x+\frac{1}{x}}）^6}$的展開式中常數(shù)項(xiàng)為141．

Answer 1

分析 由${（{1+x+\frac{1}{x}}）^6}$=${[{1+（{x+\frac{1}{x}}）}]^6}$，兩次展開二項(xiàng)式，逐一分析得答案．

解答 解：將原式看做${[{1+（{x+\frac{1}{x}}）}]^6}$，
由二項(xiàng)式定理可得展開式的通項(xiàng)為${T_{r+1}}=C_6^r•{1^{6-r}}•{（{x+\frac{1}{x}}）^r}$．
又${（{x+\frac{1}{x}}）^r}$的展開式通項(xiàng)為${T_{m+1}}=C_r^m•{x^{r-m}}•{（{{x^{-1}}}）^m}=C_r^m•{x^{r-2m}}$，
則取常數(shù)項(xiàng)時(shí)r=2m，由題可知r∈{0，1，2，3，4，5，6}，m∈{0，1，2，3，4，5，6}，
則m的可能取值為0，1，2，3，對(duì)應(yīng)的r分別為0，2，4，6．
m=0，r=0時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為1；
m=1，r=2時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為30；
m=2，r=4時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為90；
m=3，r=6時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為20；
∴原式常數(shù)項(xiàng)為1+30+90+20=141，
故答案為：141．

點(diǎn)評(píng) 利用已知的二項(xiàng)式定理，將多項(xiàng)式合理組合，變形為二項(xiàng)式，進(jìn)而再用公式逐步分析，是中檔題．