Question

20．若函數(shù)f（x）=（x²-4）（x²+ax+b）的圖象關(guān)于直線x=-1對稱，則a=4，b=0，f（x）的最小值為-16．

Answer 1

分析 由題意得f（0）=f（-2）=0且f（-4）=f（2）=0，由此求出a=4且b=0，可得f（x）．利用導(dǎo)數(shù)研究f（x）的單調(diào)性，可得到f（x）的最小值．

解答 解：若函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=-1對稱，
∴f（0）=f（-2）=0且f（-4）=f（2）=0，
即$\left\{\begin{array}{l}{-4b=0}\\{（16-4）（16-4a+b）=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{b=0}\\{a=4}\end{array}\right.$，
故a=4，b=0．
則f（x）=（x²-4）（x²+4x）=x⁴+4x³-4x²-16x
則f′（x）=4x³+12x²-8x-16=4（x+1）（x²+2x-4），
當(dāng)x＞-1時，由f′（x）=0得x=-1+$\sqrt{5}$，
當(dāng)x≥-1+$\sqrt{5}$時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）遞增，
當(dāng)-1≤x≤-1+$\sqrt{5}$時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）遞減，
故當(dāng)x=-1+$\sqrt{5}$時，f（x）取得極小值，同時也是最小值，
此時f（$\sqrt{5}$-1）=[（$\sqrt{5}$-1）²-4][（$\sqrt{5}$-1）²+4（$\sqrt{5}$-1）]=（2-2$\sqrt{5}$）（2+2$\sqrt{5}$）=4-（2$\sqrt{5}$）²=4-20=-16，
故f（x）的最小值為-16，
故答案為：4，0，-16

點評 本題主要考查函數(shù)對稱性的應(yīng)用，以及函數(shù)最值的求解，利用對稱性求出a，b的值．根據(jù)對稱性，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究當(dāng)x≥-1時的最值是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．