Question

2．若關(guān)于x的不等式x²+ax-c＜0的解集為{x|-2＜x＜1}，且函數(shù)y=ax³+mx²+x+$\frac{c}{2}$在區(qū)間（$\frac{1}{2}$，1）上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． （-2，-$\sqrt{3}$）
• B． （-∞，-2）∪（$\sqrt{3}$，+∞）
• C． [-3，-$\sqrt{3}$]
• D． （-∞，-2）∪（-$\sqrt{3}$，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)關(guān)于x的不等式x²+ax-c＜0的解集為{x|-2＜x＜1}，求出a，c可得函數(shù)解析式，
利用函數(shù)y=ax³+mx²+x+$\frac{c}{2}$在區(qū)間（$\frac{1}{2}$，1）上不是單調(diào)函數(shù)，
可得y′=3x²+2mx+m=0（*）在區(qū)間（$\frac{1}{2}$，1）上有解，且不是重解．構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的值域，即可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍

解答 解：∵關(guān)于x的不等式x²+ax-c＜0的解集為{x|-2＜x＜1}，
∴x=-2，x=1，是方程x²+ax-c=0的兩個(gè)根，
-a=-1，-c=-2
即a=1，c=2，
∴函數(shù)y=x³+mx²+x+1
∴y′=3x²+2mx+1，
∵函數(shù)y=x³+mx²+x+1在區(qū)間（$\frac{1}{2}$，1）上不是單調(diào)函數(shù)，
∴y′=3x²+2mx+1，有正有負(fù)，
可以轉(zhuǎn)化為3x²+2mx+1=0（*）在區(qū)間（$\frac{1}{2}$，1）上有解，且不是重解
∴由3x²+2mx+1=0可得2m=-3x-$\frac{1}{x}$
令f（x）=-3x-$\frac{1}{x}$，$\frac{1}{2}$＜x＜1，
f'（x）=-3+$\frac{1}{{x}^{2}}$，令f'（x）=0得：x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
x∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）遞增
x∈（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）遞減
∴f（x）_max=f（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）=-2$\sqrt{3}$
∵f（1）=-4，f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{7}{2}$
∴f（x）的值域?yàn)椋?4，-2$\sqrt{3}$]
∴2m∈（-4，-2$\sqrt{3}$]
∴m∈（-2，-$\sqrt{3}$]
但當(dāng)m=-$\sqrt{3}$時(shí)，（*）中△=0，有2個(gè)相等的根，不合題意
∴m的范圍是（-2，-$\sqrt{3}$）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查一元二次不等式的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的值域是關(guān)鍵．