Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）=x|x-a|+b，a，b∈R
（I）當(dāng)a＞0時，討論函數(shù)f（x）的零點個數(shù)；
（Ⅱ）若對于給定的實數(shù)a（-$\frac{1}{3}$≤a＜0），存在實數(shù)b，使不等式f（x）≤x+$\frac{1}{2}$對于任意x∈[2a-1，2a+1]恒成立．試將最大實數(shù)b表示為關(guān)于a的函數(shù)m（a），并求m（a）的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，討論a，b的取值即可求函數(shù)f（x）的零點個數(shù)；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)恒成立，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，求出m（a）的表達(dá)式進(jìn)行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax+b，x≥a}\\{-{x}^{2}+ax+b，x＜a}\end{array}\right.$，
∵a＞0，
∴當(dāng)b＞0時，x²-ax+b=0在x≥a上無解，-x²+ax+b=0在x＜a上恰有一解，
當(dāng)b=0時，x²-ax+b=0在x≥a上恰有一解，-x²+ax+b=0在x＜a上恰有一解，
此時函數(shù)f（x）有2個零點，
當(dāng)b＜0時，x²-ax+b=0在x≥a上恰有一解，
若判別式△=a²+4b＜0，則-x²+ax+b=0在x＜a上無解，
判別式△=a²+4b=0，則-x²+ax+b=0在x＜a上恰有一解，
判別式△=a²+4b＞0，則-x²+ax+b=0在x＜a上恰有兩個不同的解，
綜上在a＞0的條件下，
當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{b＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{b+\frac{{a}^{2}}{4}＜0}\end{array}\right.$時，函數(shù)f（x）有一個零點，
當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{b=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{b+\frac{{a}^{2}}{4}=0}\end{array}\right.$時，函數(shù)f（x）有2個零點，
當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{-\frac{{a}^{2}}{4}＜b＜0}\end{array}\right.$時，函數(shù)f（x）有3個零點．
（Ⅱ）首先記g（x）=f（x）-x=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-（a+1）x+b，x≥a}\\{-{x}^{2}+（a-1）x+b，x＜a}\end{array}\right.$，
原問題等價于：當(dāng)2a-1≤x≤2a+1時，g（x）_max≤$\frac{1}{2}$，
最大實數(shù)b的值．
由已知可得2a+1＞a，2a-1＜$\frac{a-1}{2}$，$\frac{a-1}{2}$＜$\frac{a+1}{2}$．
當(dāng)-$\frac{1}{3}$≤a＜0時，2a-1＜$\frac{a-1}{2}$＜a＜$\frac{a+1}{2}$＜2a+1，
∴g（x）在[2a-1，$\frac{a-1}{2}$]上為增函數(shù)，在[$\frac{a-1}{2}$，$\frac{a+1}{2}$]上為減函數(shù)，
在[$\frac{a+1}{2}$，2a+1]上為增函數(shù)，
∴當(dāng)2a-1≤x≤2a+1，
∴g（x）_max=max{g（$\frac{a-1}{2}$），g（2a+1）}=g（$\frac{a-1}{2}$）=$\frac{（a-1）^{2}}{4}$，
由$\frac{（a-1）^{2}}{4}$≤$\frac{1}{2}$，解得1-$\sqrt{2}$≤a≤1+$\sqrt{2}$，
則-$\frac{1}{3}$≤a＜0恒成立．
此時最大的b滿足g（$\frac{a-1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，
從而b_max=m（a）=$\frac{1}{2}$-$\frac{（a-1）^{2}}{4}$=$\frac{-{a}^{2}+2a+1}{4}$，
∴m（a）=$\frac{-{a}^{2}+2a+1}{4}$，（-$\frac{1}{3}$≤a＜0），
由對稱軸為a=1，區(qū)間[-$\frac{1}{3}$，0）為增區(qū)間，
解得m（a）的取值范圍是[$\frac{1}{18}$，$\frac{1}{4}$）．

點評 本題主要考查函數(shù)的零點的判斷，以及函數(shù)恒成立問題，考查學(xué)生的分類討論的數(shù)學(xué)思想，綜合性較強，難度較大．