Question

5．S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，己知a_n＞0，a_n²+2a_n=4S_n+3
（I）求{a_n}的通項公式：
（Ⅱ）設(shè)b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，利用作差法即可求{a_n}的通項公式：
（Ⅱ）求出b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，利用裂項法即可求數(shù)列{b_n}的前n項和．

解答 解：（I）由a_n²+2a_n=4S_n+3，可知a_n+1²+2a_n+1=4S_n+1+3
兩式相減得a_n+1²-a_n²+2（a_n+1-a_n）=4a_n+1，
即2（a_n+1+a_n）=a_n+1²-a_n²=（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n），
∵a_n＞0，∴a_n+1-a_n=2，
∵a₁²+2a₁=4a₁+3，
∴a₁=-1（舍）或a₁=3，
則{a_n}是首項為3，公差d=2的等差數(shù)列，
∴{a_n}的通項公式a_n=3+2（n-1）=2n+1：
（Ⅱ）∵a_n=2n+1，
∴b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$），
∴數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$$+\frac{1}{5}$$-\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$）=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2n+3}$）=$\frac{n}{3（2n+3）}$．

點(diǎn)評 本題主要考查數(shù)列的通項公式以及數(shù)列求和的計算，利用裂項法是解決本題的關(guān)鍵．