Question

15．如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是BC，CC₁的中點(diǎn)，
（Ⅰ）證明：平面AEF⊥平面B₁BCC₁；
（Ⅱ）若直線A₁C與平面A₁ABB₁所成的角為45°，求三棱錐F-AEC的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明AE⊥BB₁，AE⊥BC，BC∩BB₁=B，推出AE⊥平面B₁BCC₁，利用平面余平米垂直的判定定理證明平面AEF⊥平面B₁BCC₁；
（Ⅱ）取AB的中點(diǎn)G，說(shuō)明直線A₁C與平面A₁ABB₁所成的角為45°，就是∠CA₁G，求出棱錐的高與底面面積即可求解幾何體的體積．

解答 （Ⅰ）證明：∵幾何體是直棱柱，∴BB₁⊥底面ABC，AE?底面ABC，∴AE⊥BB₁，
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E分別是BC的中點(diǎn)，
∴AE⊥BC，BC∩BB₁=B，∴AE⊥平面B₁BCC₁，
∵AE?平面AEF，∴平面AEF⊥平面B₁BCC₁；
（Ⅱ）解：取AB的中點(diǎn)G，連結(jié)A₁G，CG，由（Ⅰ）可知CG⊥平面A₁ABB₁，
直線A₁C與平面A₁ABB₁所成的角為45°，就是∠CA₁G，則A₁G=CG=$\sqrt{3}$，
∴AA₁=$\sqrt{{A}_{1}{G}^{2}-{AG}^{2}}$=$\sqrt{2}$，CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
三棱錐F-AEC的體積：$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}×CE•AE•CF$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何體的體積的求法，平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．