Question

6．試求函數(shù)$f（x）={log_2}\frac{1+x}{1-x}$的定義域，然后判斷函數(shù)的奇偶性，并以一定的理由說明該函數(shù)在定義域的單調(diào)性．

Answer 1

分析 容易求出f（x）的定義域為（-1，1），并且可以得到$f（-x）=-lo{g}_{2}\frac{1+x}{1-x}=-f（x）$，這便得出f（x）為奇函數(shù)，而分離常數(shù)得到$f（x）=lo{g}_{2}（-1-\frac{2}{x-1}）$，該函數(shù)為復合函數(shù)，從而根據(jù)反比例函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，及復合函數(shù)的單調(diào)性即可判斷f（x）在定義域上的單調(diào)性．

解答 解：解$\frac{1+x}{1-x}$＞0得，-1＜x＜1；
∴f （x）的定義域為（-1，1），它關于原點對稱，且$f（-x）={log_2}\frac{1-x}{1+x}={log_2}{（\frac{1+x}{1-x}）^{-1}}=-{log_2}\frac{1+x}{1-x}=-f（x）$；
∴f（x）是奇函數(shù)；
$f（x）={log_2}（-1-\frac{2}{x-1}）$，∵$g（x）=-1-\frac{2}{x-1}$在（-1，1）上是增函數(shù)；
∴f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)．

點評 考查函數(shù)定義域的概念及求法，分數(shù)不等式的解法，函數(shù)奇偶性的定義及判斷奇偶性的方法和過程，對數(shù)的運算性質(zhì)，以及復合函數(shù)的定義，復合函數(shù)單調(diào)性的判斷，反比例函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．