Question

10．對(duì)于n∈N^*，將n表示為n=a₀×2^k+a₁×2^k-1+a₂×2^k-2+…+a_k-1×2¹+a_k×2⁰，i=0時(shí)，a_i=1，當(dāng)1≤i≤k時(shí)，a_i為0或1，記I（n）為上述表示中a_i為0的個(gè)數(shù)；例如4=1×2²+0×2¹+0×2⁰，11=1×2³+0×2²+1×2¹+1×2⁰，故I（4）=2，I（11）=1；則2^I（1）+2^I（2）+…+2^I（254）+2^I（255）=3280．

Answer 1

分析 將n分為128≤n≤255，64≤n≤127，32≤n≤63，…n=1等7種情況，有組合數(shù)的性質(zhì)，分析其中I（n）的取值情況，與二項(xiàng)式定理結(jié)合，可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的前7項(xiàng)和，計(jì)算可得答案，

解答 解：255=1×2⁷+1×2⁶+1×2⁵+1×2⁴+1×2³+1×2²+1×2¹+1×2⁰，
設(shè)128≤n≤255，且n為整數(shù)；
則n=1×2⁷+a₁×2⁶+a₂×2⁵+a₃×2⁴+a₄×2³+a₅×2²+a₆×2¹+a₇×2⁰，
a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆，a₇中7個(gè)數(shù)都為0或1，
其中沒(méi)有一個(gè)為1時(shí)，有C₇⁰種情況，即有C₇⁰個(gè)I（n）=7；
其中有一個(gè)為1時(shí)，有C₇¹種情況，即有C₇¹個(gè)I（n）=6；
其中有2個(gè)為1時(shí)，有C₇²種情況，即有C₇²個(gè)I（n）=5；
…
綜上可得：$\sum _{n=128}^{255}$ 2^I（n）=C₇⁰2⁷+C₇¹×2⁶+C₇²×2⁵+C₇³×2⁴+C₇⁴×2³+C₇³×2²+C₇⁶×2+1=（2+1）⁷=3⁷，
同理可得：$\sum _{n=64}^{127}$2^I（n）=3⁶，
…
$\sum _{n=2}^{3}$2^I（n）=3¹，
2^I（1）=1；
則2^I（1）+2^I（2）+…+2^I（254）+2^I（255）=1+3+3²+…+3⁷=$\frac{{3}^{8}-1}{3-1}$=3280；
故答案為：3280；

點(diǎn)評(píng) 解本題關(guān)鍵在于分析題意，透徹理解I（n）的含義，及$\sum _{n=128}^{255}$ 2^I（n）的運(yùn)算，注意轉(zhuǎn)化思想，結(jié)合二項(xiàng)式定理與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行計(jì)算．