Question

13．如圖，在各棱長(zhǎng)均為2的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面A₁ACC₁⊥底面ABC，且∠A₁AC=$\frac{π}{3}$，點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)．
（1）求證：AC⊥平面A₁OB；
（2）求二面角B₁-AC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)A₁C，推導(dǎo)出A₁O⊥AC，BO⊥AC，由此能證明AC⊥平面A₁OB．
（2）以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)B、OC、OA₁為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明二面角B₁-AC-B的余弦值．

解答 證明：（1）連結(jié)A₁C，∵AC=AA₁，∠A₁AC=$\frac{π}{3}$，AB=BC，點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，
∴A₁O⊥AC，BO⊥AC，
∵A₁O∩BO=O，
∴AC⊥平面A₁OB．
解：（2）∵側(cè)面A₁ACC₁⊥底面ABC，∴A₁O⊥平面ABC，∴A₁O⊥BO，
∴以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)B、OC、OA₁為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，-1，0），B（$\sqrt{3}$，0，0），C（0，1，0），A₁（0，0，$\sqrt{3}$），B₁（$\sqrt{3}，1，\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（$\sqrt{3}，2，\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AC}$=（0，2，0），
設(shè)平面AB₁C的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=\sqrt{3}x+2y+\sqrt{3}z=0}\\{2y=0}\end{array}\right.$，取x=-1，得$\overrightarrow{n}$=（-1，0，1），
又平面ABC的法向量為$\overrightarrow{{A}_{1}O}$=（0，0，$\sqrt{3}$），
∴cos＜$\overrightarrow{A{A}_{1}}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{A{A}_{1}}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{A{A}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴二面角B₁-AC-B的余弦值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．