Question

1．已知雙曲線$\frac{x^2}{m}-\frac{y^2}{{{m^2}+2}}=1$的右焦點(diǎn)到其漸進(jìn)線的距離為$\sqrt{3}$，則此雙曲線的離心率為2．

Answer 1

分析 求出雙曲線的a，b，c，可得右焦點(diǎn)坐標(biāo)和雙曲線的漸近線方程，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，計(jì)算可得m，運(yùn)用雙曲線的離心率公式即可得到所求值．

解答 解：雙曲線$\frac{x^2}{m}-\frac{y^2}{{{m^2}+2}}=1$（m＞0）的a=$\sqrt{m}$，b=$\sqrt{2+{m}^{2}}$，
c=$\sqrt{m+2+{m}^{2}}$，
右焦點(diǎn)為（$\sqrt{m+2+{m}^{2}}$，0），
漸近線方程為$\sqrt{2+{m}^{2}}$x±$\sqrt{m}$y=0，
由題意可得$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{2+{m}^{2}}•\sqrt{2+m+{m}^{2}}}{\sqrt{2+m+{m}^{2}}}$=$\sqrt{2+{m}^{2}}$，
解得m=1，
則a=1，c=2，
e=$\frac{c}{a}$=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用雙曲線的漸近線方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)，考查點(diǎn)到直線的距離公式和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．