Question

16．已知在三棱錐P-ABC中，PA⊥面ABC，PC⊥AB，若三棱錐P-ABC的外接球的半徑是3，S=S_△ABC+S_△ABP+S_△ACP，則S的最大值是（　�。�

• A． 36
• B． 28
• C． 26
• D． 18

Answer 1

分析 如圖所示利用線面垂直的性質(zhì)定理可得：PA⊥AC，PA⊥AB，又PC⊥AB，可得AB⊥平面PAC，AB⊥AC．設AP=x，AB=y，AC=z，可得x²+y²+z²=36．S=$\frac{1}{2}$yz+$\frac{1}{2}$xy+$\frac{1}{2}$xz，利用重要不等式即可得出．

解答 解：如圖所示，
∵PA⊥面ABC，∴PA⊥AC，PA⊥AB，
又PC⊥AB，PA∩PC=P，
∴AB⊥平面PAC，
∴AB⊥AC．
設AP=x，AB=y，AC=z，
則x²+y²+z²=（2×3）²=36．
S=S_△ABC+S_△ABP+S_△ACP=$\frac{1}{2}$yz+$\frac{1}{2}$xy+$\frac{1}{2}$xz≤$\frac{1}{2}×$（x²+y²+z²）=18，
當且僅當x=y=z=2$\sqrt{3}$設取等號．
則S的最大值是18．
故選：D．

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)定理、直角三角形面積計算公式、重要不等式的性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．