Question

3．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若S_n=2a_n+n，且b_n=n（1-a_n）
（1）求證：{a_n-1}為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=S_n+1-S_n=2a_n+1-2a_n+1，能證明{a_n-1}是以-2為首項，2為公比的等比數(shù)列．
（2）由$_{n}=n•{2}^{n}$，利用錯位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答 證明：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，S_n=2a_n+n，
∴S_n+1=2a_n+1+n+1，
∴a_n+1=S_n+1-S_n=2a_n+1-2a_n+1，
∴a_n+1=2a_n-1，
∴a_n+1-1=2（a_n-1），
∴{a_n-1}是以-2為首項，2為公比的等比數(shù)列．
解：（2）由（1）得${a}_{n}-1=-2×{2}^{n-1}=-{2}^{n}$，即${a}_{n}=-{2}^{n}+1$，
∵b_n=n（1-a_n），∴$_{n}=n•{2}^{n}$，
∴T_n=1•2+2•2²+…+n•2ⁿ，①
2T_n=1•2²+2•2³+…+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-T_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}-n•{2}^{n+1}$
=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點評 本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．