Question

13．已知函數(shù)$f（x）=lnx+tanα（a∈（0，\frac{π}{2}））$的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若使得$f'（{x_0}）-\sqrt{3}f（{x_0}）=0$成立的x₀＜1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為$（\frac{π}{6}，\frac{π}{2}）$．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，化簡(jiǎn)過(guò)程，利用參數(shù)分離法，構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的取值范圍，結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．

解答 解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{1}{x}$，
則由$f'（{x_0}）-\sqrt{3}f（{x_0}）=0$得$\frac{1}{{x}_{0}}$-$\sqrt{3}$lnx₀-$\sqrt{3}$tanα=0，
即$\frac{1}{{x}_{0}}$-$\sqrt{3}$lnx₀=$\sqrt{3}$tanα，
設(shè)g（x）=$\frac{1}{{x}_{0}}$-$\sqrt{3}$lnx₀，當(dāng)0＜x₀＜1時(shí)，函數(shù)g（x）為減函數(shù)，
則g（x）＞g（1）=1，
即$\sqrt{3}$tanα＞1，
則tanα＞$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
則$\frac{π}{6}$＜α＜$\frac{π}{2}$．
故答案為：$（\frac{π}{6}，\frac{π}{2}）$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算以及三角函數(shù)方程的求解，利用參數(shù)分離法，結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．