Question

8．已知公差不為零的等差數(shù)列{a_n}，若a₁=2，且a₁，a₃，a₉成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)${b_n}={2^{n-1}}$，求數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d≠0．由a₁=2，且a₁，a₃，a₉成等比數(shù)列，可得${a_3}^2={a_1}•{a_9}$，即（2+2d）²=2×（2+8d），解出d即可得出．
（II）利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d≠0．
∵a₁=2，且a₁，a₃，a₉成等比數(shù)列，
∴${a_3}^2={a_1}•{a_9}$，即（2+2d）²=2×（2+8d），
∴4d²=8d，
∵d≠0，∴d=2．
∴a_n=2n．
（Ⅱ）${a_n}{b_n}=2n•{2^{n-1}}=n•{2^n}$，
S_n=1•2+2•2²+3•2²+…+n•2ⁿ．①
從而2•S_n=1•2²+2•2³+3•2³+…+n•2ⁿ⁺¹．②
①-②，得（1-2）S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹，
即$-{S_n}=\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}-n•{2^{n+1}}=2（{2^n}-1）-n•{2^{n+1}}$，
∴${S_n}=（n-1）•{2^{n+1}}+2$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．