Question

7．已知函數(shù)f（x）=|x+3|-|x-1|-x，$g（x）=x+\frac{8}{x}$．
（1）求解不等式：f（x）＞0；
（2）當(dāng)x＞0時，f（x）+m＜g（x），且當(dāng)x＜0時，f（x）+m＞g（x）恒成立，求m的范圍．

Answer 1

分析 （1）把要解的不等式等價轉(zhuǎn)化為與之等價的三個不等式組，求出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（2）當(dāng)x＞0時，求得f（x）+m的最大值和g（x）的最小值，根據(jù)g（x）的最小值大于f（x）+m的最大值，求得m的范圍．當(dāng)x＜0時，求得f（x）+m的最小值和g（x）的最大值，根據(jù)g（x）的最大值小于f（x）+m的最小值，求得m的范圍．再把這兩個m的范圍取交集，即得所求．

解答 解：函數(shù)f（x）=|x+3|-|x-1|-x=$\left\{\begin{array}{l}{-x-4，x＜-3}\\{x+2，-3≤x≤1}\\{-x+4，x＞1}\end{array}\right.$，不等式f（x）＞0即$\left\{\begin{array}{l}{-x-4＞0}\\{x＜-3}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{x+2＞0}\\{-3≤x≤1}\end{array}\right.$②，或$\left\{\begin{array}{l}{-x+4，＞0}\\{x＞1}\end{array}\right.$③．
解①求得 x＜-4，解②求得-2＜x≤1，解③求得1＜x＜4，
綜上可得，不等式的解集為{x|x＜-4，或-2＜x＜4}．
（2）當(dāng)x＞0時，由g（x）=x+$\frac{8}{x}$＞f（x）+m恒成立，可得g（x）=x+$\frac{8}{x}$≥2$\sqrt{8}$=4$\sqrt{2}$．
而f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在[1，+∞）上單調(diào)遞減，故f（x）的最大值為f（1）=3，
故 4$\sqrt{2}$＞3+m，求得m＜4$\sqrt{2}$-3．
故當(dāng)x＜0時，f（x）+m＞g（x）恒成立，而f（x）在（-∞，-3）上單調(diào)遞件，在[-3，0）上單調(diào)遞增，
故f（x）的最小值為f（-3）=-1．
∵-x+$\frac{8}{-x}$≥4$\sqrt{2}$，∴g（x）=x+$\frac{8}{x}$≤-4$\sqrt{2}$，∴-1+m＞-4$\sqrt{2}$，求得m＞1-4$\sqrt{2}$．
綜上可得，1-4$\sqrt{2}$＜m＜4$\sqrt{2}$-3．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．