Question

6．f（x）=3sin（-$\frac{1}{5}$x+$\frac{3π}{10}$），若實數m滿足f（$\sqrt{-{m}^{2}+2m+3}$）＞f（$\sqrt{-{m}^{2}+4}$），則m的取值范圍是[-1，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 由二次函數性質可知0≤$\sqrt{-{m}^{2}+2m+3}$≤2，0≤$\sqrt{-{m}^{2}+4}$≤2，根據正弦函數的性質可得f（x）在[0，2]上單調遞減，于是0≤$\sqrt{-{m}^{2}+2m+3}$＜$\sqrt{-{m}^{2}+4}$≤2，利用二次函數性質解出m的范圍．

解答 解：f（x）=-3sin（$\frac{x}{5}-\frac{3π}{10}$），
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤$\frac{x}{5}-\frac{3π}{10}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，解得-π+10kπ≤x≤4π+10kπ，
∴f（x）的單調減區(qū)間為[-π+10kπ，4π+10kπ]，k∈Z．
∴f（x）在區(qū)間[0，2]上是減函數．
∵0≤$\sqrt{-{m}^{2}+2m+3}$=$\sqrt{-（m-1）^{2}+4}$≤2，0≤$\sqrt{-{m}^{2}+4}$≤2．且f（$\sqrt{-{m}^{2}+2m+3}$）＞f（$\sqrt{-{m}^{2}+4}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-{m}^{2}+2m+3≥0}\\{-{m}^{2}+4≥0}\\{\sqrt{-{m}^{2}+2m+3}＜\sqrt{-{m}^{2}+4}}\end{array}\right.$，解得-1≤m$＜\frac{1}{2}$．
故答案為：[-1，$\frac{1}{2}$）．

點評 本題考查了正弦函數的性質，二次函數的性質，函數單調性的應用，屬于中檔題．