Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx+（x-b）^{2}}{x}$（b∈R）．若存在x∈[$\frac{1}{2}$，2]，使得f（x）＞-x•f′（x），則實數(shù)b的取值范圍是（-∞，$\frac{9}{4}$）．

Answer 1

分析 求導(dǎo)函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為b＜x+$\frac{1}{2x}$，設(shè)g（x）=x+$\frac{1}{2x}$，只需b＜g（x）_max，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)的最大值，故可求實數(shù)b的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=$\frac{lnx+（x-b）^{2}}{x}$，x＞0，
∴f′（x）=$\frac{1+2x（x-b）-lnx{-（x-b）}^{2}}{{x}^{2}}$，
∴f（x）+xf′（x）=$\frac{1+2x（x-b）}{x}$，
∵存在x∈[$\frac{1}{2}$，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，
∴1+2x（x-b）＞0
∴b＜x+$\frac{1}{2x}$，
設(shè)g（x）=x+$\frac{1}{2x}$，
∴b＜g（x）_max，
∴g′（x）=$\frac{{2x}^{2}-1}{{2x}^{2}}$，
當(dāng)g′（x）=0時，解得：x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
當(dāng)g′（x）＞0時，即$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜x≤2時，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)g′（x）＜0時，即$\frac{1}{2}$≤x＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=2時，函數(shù)g（x）取最大值，最大值為g（2）=$\frac{9}{4}$，
∴b＜$\frac{9}{4}$，
故答案為：（-∞，$\frac{9}{4}$）．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查恒成立問題，考查函數(shù)的最值，屬于中檔題．