Question

9．已知函數y=2sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{4}$）
（1）用“五點法”作出函數圖象；
（2）指出它可由函數y=sinx的圖象經過哪些變換而得到；
（3）寫出函數的單調增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）用“五點法”列表、描點，作出函數的圖象即可；
（2）方法一：由函數y=sinx得到函數$y=sin\frac{x}{2}$的圖象，再得到$y=sin（\frac{x}{2}-\frac{π}{4}）$的圖象，最后得到函數$y=2sin（\frac{x}{2}-\frac{π}{4}）$的圖象；
方法二：由函數y=sinx得到函數y=sin（x-$\frac{π}{4}$）的圖象，再得到y=sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{4}$）的圖象，最后得到函數y=2sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{4}$）的圖象；
（3）根據正弦函數的圖象與性質，求出函數y的增區(qū)間．

解答 解：（1）函數y=2sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{4}$），
用“五點法”列表如下，

$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{4}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$\frac{π}{2}$	$\frac{3π}{2}$	$\frac{5π}{2}$	$\frac{7π}{2}$	$\frac{9π}{2}$
y	0	2	0	-2	0

作出函數的圖象如圖所示，
；---5′
（2）方法一：將函數y=sinx上的每一點橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變），得到函數$y=sin\frac{x}{2}$的圖象，
再將函數y=sin$\frac{x}{2}$的圖象向右平移$\frac{π}{2}$個單位長度，得到$y=sin（\frac{x}{2}-\frac{π}{4}）$的圖象，
再將函數$y=sin（\frac{x}{2}-\frac{π}{4}）$的圖象上每一點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（橫坐標不變），
即得到函數$y=2sin（\frac{x}{2}-\frac{π}{4}）$的圖象；---5′
方法二：將函數y=sinx圖象向右平移$\frac{π}{4}$個單位長度，得到函數y=sin（x-$\frac{π}{4}$）的圖象，
再將函數y=sin（x-$\frac{π}{4}$）的圖象上橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變），得到y=sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{4}$）的圖象，
再將函數y=sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{4}$）的圖象上每一點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（橫坐標不變），
即可得到函數y=2sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{4}$）的圖象；
（3）∵函數y=2sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{4}$），令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z；
解得-$\frac{π}{2}$+4kπ≤x≤$\frac{3π}{2}$+4kπ，k∈Z；
∴函數y=2sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{4}$）的增區(qū)間是：[-$\frac{π}{2}$+4kπ，$\frac{3π}{2}$+4kπ]，k∈Z．---5′

點評 本題考查了三角函數的圖象與性質的應用問題，也考查了“五點法”畫圖以及圖象平移的應用問題，是基礎題目．