Question

9．函數(shù)f（x）=$\frac{ax+b}{{1+{x^2}}}$是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，且$f（\frac{1}{2}）=\frac{2}{5}$
（1）求f（x）的解析式；
（2）試判斷f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性，并利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明；
（3）若f（t-1）+f（t）＜0，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由f（-x）=-f（x），代入可求b，然后由且f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{2}{5}$可求a，進而可求函數(shù)解析式；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義進行證明；
（3）利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)將不等式進行轉(zhuǎn)化進行求解即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\frac{ax+b}{1+{x}^{2}}$是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），即 $\frac{-ax+b}{1+{x}^{2}}=-\frac{ax+b}{1+{x}^{2}}$，
∴-ax+b=-ax-b，∴b=0，
∵f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{2}{5}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}a}{1+（\frac{1}{2}）^{2}}=\frac{2}{5}$，解得a=1，
∴f（x）=$\frac{x}{1+{x}^{2}}$．
（2）證明：在區(qū)間（-1，1）上任取x₁，x₂，令-1＜x₁＜x₂＜1，
∴f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{x}_{1}}{1+{{x}_{1}}^{2}}$-$\frac{{x}_{2}}{1+{{x}_{2}}^{2}}$=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-{x}_{1}{x}_{2}）}{（1+{{x}_{1}}^{2}）（1+{{x}_{2}}^{2}）}$；
∵-1＜x₁＜x₂＜1
∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，1+x₁²＞0，1+x₂²＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）
故函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)．
（3）∵f（x）是奇函數(shù)，
∴不等式f（t-1）+f（t）＜0等價為f（t-1）＜-f（t）=f（-t），
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1＜t＜1}\\{-1＜t-1＜1}\\{t-1＜-t}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-1＜t＜1}\\{0＜t＜2}\\{t＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得0＜t＜$\frac{1}{2}$，
即不等式的解集為（0，$\frac{1}{2}$）．

點評 本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的性質(zhì)應用，著重考查學生理解函數(shù)奇偶性與用定義證明單調(diào)性及解方程，解不等式組的能力，屬于中檔題．