Question

6．若直線ax+（a-2）y+4-a=0把區(qū)域$\left\{{\begin{array}{l}{2x-y+4≥0}\\{3x+y≤9}\\{x+2y≥3}\end{array}}\right.$分成面積相等的兩部分，則$\frac{y}{x+4a}$的最大值為2．

Answer 1

分析 根據(jù)條件求出直線恒過定點C（-1，2），根據(jù)面積相等得到直線過AB的中點，求出a的值，結(jié)合直線斜率的幾何意義進行求解即可．

解答 解：由ax+（a-2）y+4-a=0得a（x+y-1）+4-2y=0，
則$\left\{\begin{array}{l}{4-2y=0}\\{x+y-1=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=2}\end{array}\right.$，即直線恒過C（-1，2），
若將區(qū)域分成面積相等的兩部分，則直線過AB的中點D，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+4=0}\\{3x+y=9}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=6}\end{array}\right.$，即A（1，6），
∵B（3，0），∴中點D（2，3），代入a（x+y-1）+4-2y=0，
得4a-2=0，
則$a=\frac{1}{2}$，則$\frac{y}{x+4a}=\frac{y}{x+2}$的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點到點（-2，0）的斜率，
由圖象過AC的斜率最大，此時最大值為2．
故答案為：2．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，直線恒過定點以及三角形面積相等的應(yīng)用，直線斜率的計算，綜合性較強，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．