Question

12．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₈=8，S₈=36，則數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前100項和為（　�。�

• A． $\frac{100}{101}$
• B． $\frac{99}{101}$
• C． $\frac{99}{100}$
• D． $\frac{101}{100}$

Answer 1

分析 利用等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“裂項求和”即可得出．

解答 解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₈=8，S₈=36，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+7d=8}\\{8{a}_{1}+\frac{8×7}{2}d=36}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=1}\end{array}\right.$，
∴a_n=1+（n-1）=n．
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前100項和=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{100}-\frac{1}{101}）$=1-$\frac{1}{101}$=$\frac{100}{101}$．
故選：A．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“裂項求和”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．