Question

2．已知f（x）=$\frac{x+1}{3x-1}$．
（1）求f（f（x））；
（2）對(duì)參數(shù)a的哪些值，方程|x|+|$\frac{x+1}{3x-1}$|=a正好有3個(gè)實(shí)數(shù)解；
（3）設(shè)b為任意實(shí)數(shù)，證明：x+$\frac{2x-7}{x+1}$-$\frac{x+7}{x-2}$=b共有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x₁，x₂，x₃，并且x₁+x₂+x₃=b．

Answer 1

分析 （1）化簡可得f（f（x））=f（$\frac{x+1}{3x-1}$）=x，
（2）作函數(shù)y=|$\frac{x+1}{3x-1}$|與函數(shù)y=a-|x|的圖象，從而化為x+$\frac{x+1}{3x-1}$=a有一個(gè)解，從而利用判別式解得．
（3）化簡方程可得x³-bx²+（b-21）x+2b-7=0，從而令g（x）=x³-bx²+（b-21）x+2b-7，從而利用零點(diǎn)的判定定理判斷即可．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{x+1}{3x-1}$，
∴f（f（x））=f（$\frac{x+1}{3x-1}$）=x，
（2）作函數(shù)y=|$\frac{x+1}{3x-1}$|與函數(shù)y=a-|x|的圖象如下，
若使方程|x|+|$\frac{x+1}{3x-1}$|=a正好有3個(gè)實(shí)數(shù)解，
則x+$\frac{x+1}{3x-1}$=a有一個(gè)解，
即3x²-3ax+a+1=0有一個(gè)解，
故△=9a²-12a-12=0，
解得，a=2或a=-$\frac{2}{3}$（舍去）；
故a=2；
（3）證明：∵x+$\frac{2x-7}{x+1}$-$\frac{x+7}{x-2}$=b，
∴$\frac{x（x+1）（x-2）+（2x-7）（x-2）-（x+7）（x+1）}{（x+1）（x-2）}$=b，
∴x³-bx²+（b-21）x+2b-7=0，
令g（x）=x³-bx²+（b-21）x+2b-7，
易知$\underset{lim}{x→-∞}$g（x）=-∞，$\underset{lim}{x→+∞}$g（x）=+∞，
g（-1）=-1-b-b+21+2b-7=13＞0，
g（2）=8-4b+2b-42+2b-7=-41＜0，
故g（x）在（-∞，-1），（-1，2），（2，+∞）上各有一個(gè)零點(diǎn)，
故g（x）有3個(gè)不同的零點(diǎn)x₁，x₂，x₃，
故x+$\frac{2x-7}{x+1}$-$\frac{x+7}{x-2}$=b共有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x₁，x₂，x₃，
∵x³-bx²+（b-21）x+2b-7=（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃）
=x³-（x₁+x₂+x₃）x²+（x₁x₂+x₁x₃+x₃x₂）x-x₁x₂x₃，
故x₁+x₂+x₃=b．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用及分段函數(shù)的應(yīng)用，同時(shí)考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系應(yīng)用．