Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$-mx，其中m為實常數(shù)．
（1）當m=$\frac{1}{2}$時，求不等式f（x）＜x的解集；
（2）當m變化時，討論關于x的不等式f（x）+$\frac{x}{2}$≥0的解集．
（3）f（x）＞-1在x＞2恒成立，求m的范圍．

Answer 1

分析 （1）直接把m=$\frac{1}{2}$代入不等式f（x）＜x，求解一元二次不等式得答案；
（2）把不等式f（x）+$\frac{x}{2}$≥0化簡，然后分類討論求得不等式的解集；
（3）由f（x）＞-1在x＞2恒成立，可得x²-2mx+2＞0在x＞2恒成立．轉化為△=（-2m）²-8＜0或$\left\{\begin{array}{l}{m≤2}\\{{2}^{2}-4m+2≥0}\end{array}\right.$，分別求解后取并集得答案．

解答 解：（1）當$m=\frac{1}{2}$時，由f（x）＜x，得$\frac{{x}^{2}}{2}-\frac{x}{2}＜x$，即x（x-3）＜0．
∴不等式的解集是{x|0＜x＜3}；
（2）由f（x）+$\frac{x}{2}$≥0，得$\frac{{x}^{2}}{2}-mx+\frac{x}{2}≥0$，即x[x-（2m-1）]≥0．
當2m-1＞0，即$m＞\frac{1}{2}$時，不等式的解集為{x|x≤0或x≥2m-1}．
當2m-1＜0，即m$＜\frac{1}{2}$時，不等式的解集為{x|x≥0或x≤2m-1}．
當2m-1=0，即m=$\frac{1}{2}$時，不等式的解集為R；
（3）f（x）＞-1在x＞2恒成立，即$\frac{{x}^{2}}{2}$-mx＞-1在x＞2恒成立．
∴x²-2mx+2＞0在x＞2恒成立．
則△=（-2m）²-8＜0或$\left\{\begin{array}{l}{m≤2}\\{{2}^{2}-4m+2≥0}\end{array}\right.$．
解得：$m≤\frac{3}{2}$．

點評 本題考查一元二次不等式的解法，考查了函數(shù)恒成立問題，訓練了利用“三個二次”求解參數(shù)范圍的方法，是中檔題．