Question

14．己知函數(shù)f（x）=|2x+1|-|x-1|．
（Ⅰ）求不等式f（x）＜2的解集；
（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式f（x）≤a-$\frac{{a}^{2}}{2}$有解，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將f（x）寫成分段函數(shù)式，討論x的范圍，解不等式，求交集即可得到所求解集；
（Ⅱ）關(guān)于x的不等式f（x）≤a-$\frac{{a}^{2}}{2}$有解，即為f（x）_min≤a-$\frac{{a}^{2}}{2}$，運用一次函數(shù)的單調(diào)性，求得最小值，解二次不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=|2x+1|-|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{x+2，x≥1}\\{3x，-\frac{1}{2}＜x＜1}\\{-x-2，x≤-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
當(dāng)x≥1時，x+2＜2，即x＜0，可得x∈∅；
當(dāng)-$\frac{1}{2}$＜x＜1時，3x＜2，即x＜$\frac{2}{3}$，可得-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{2}{3}$；
當(dāng)x≤-$\frac{1}{2}$時，-x-2＜2，即x＞-4，可得-4＜x≤-$\frac{1}{2}$．
綜上可得，不等式的解集為（-4，$\frac{2}{3}$）；
（Ⅱ）關(guān)于x的不等式f（x）≤a-$\frac{{a}^{2}}{2}$有解，即為：
f（x）_min≤a-$\frac{{a}^{2}}{2}$，
由x≥1時，x+2≥3；
-$\frac{1}{2}$＜x＜1時，-$\frac{3}{2}$＜3x＜3：
x≤-$\frac{1}{2}$時，-x-2≥-$\frac{3}{2}$．
可得f（x）_min=-$\frac{3}{2}$，
即有a-$\frac{{a}^{2}}{2}$≥-$\frac{3}{2}$，
解得-1≤a≤3．
即有a的取值范圍是[-1，3]．

點評 本題考查絕對值不等式的解法，注意運用零點分區(qū)間法，考查不等式有解的條件，注意運用轉(zhuǎn)化思想，求函數(shù)的最值，考查運算能力，屬于中檔題．